Singular Bohr–sommerfeld Rules for 2d Integrable Systems

– This article gives Bohr–Sommerfeld rules for semiclassical completely integrable systems with two degrees of freedom with non-degenerate singularities (Morse–Bott singularities) under the assumption that the energy level of the first Hamiltonian is non-singular. The more singular case of focus– focus singularities was treated in previous works by San Vũ Ngo. c. The case of one degree of freedom has been studied by Colin de Verdière and Parisse. The results are applied to some famous examples: the geodesics of the ellipsoid, the 1 : 2-resonance, and Schrödinger operators on the sphere S. A numerical test shows that the semiclassical Bohr–Sommerfeld rules match very accurately the “purely quantum” computations.  2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS RÉSUMÉ. – Cet article fournit les règles de Bohr–Sommerfeld pour les systèmes complètement intégrables semi-classiques à deux degrés de liberté ayant des singularités non dégénérées (à la Morse– Bott), sous la condition que le niveau d’énergie du premier Hamiltonien soit non critique. Le cas plus singulier des singularités de type foyer-foyer a été traité dans des travaux antérieurs de San Vũ Ngo. c. Le cas d’un seul degré de liberté a été étudié par Colin de Verdière et Parisse. Les résultats sont appliqués à quelques exemples célèbres : les géodésiques de l’ellipsoïde, la résonance 1 : 2 et les opérateurs de Schrödinger sur la sphère S. Un test numérique montre que les règles de Bohr– Sommerfeld semi-classiques sont en parfait accord avec les calculs “purement quantiques”.  2003 Éditions scientifiques et médicales Elsevier SAS